Matemáticas para piezas de escaleras helicoidales
Los profesionales encuentran y discuten una fórmula para calcular hélices (es realmente sorprendente). 11 de abril de 2005
Pregunta
Estoy buscando una fórmula para calcular el radio de partes de una escalera. Lo que queremos poder hacer es esto:
tenemos una pieza de filete de 1,5 cm de espesor por 5 cm de ancho para un pasamanos que seguirá una escalera de caracol que tiene un radio verdadero en planta. Esta parte es lo suficientemente delgada y el radio de la escalera en planta es lo suficientemente grande como para poder doblarla a medida que adquiere la forma del cilindro, si supiéramos qué radio darle. Entonces, la pregunta es cómo calcular el radio de la pieza que se cortaría mientras está sentada plana, de modo que pueda enrollarse alrededor de un cilindro y obtener la elevación adecuada. Imagínese un furtivo estirado. Al estirar un resorte, el radio disminuye. Esto es todo lo contrario. Necesitamos cortar la pieza con un radio mayor que el cilindro. He buscado en Tratado sobre construcción de escaleras y barandillas pero no encuentro una explicación que pueda entender. En el peor de los casos, puedo improvisar con éxito o fracaso, pero me he estado preguntando acerca de una fórmula para esto durante bastante tiempo. ¿Algún genio de las matemáticas por ahí?
Respuestas del foro
(Foro de carpintería arquitectónica)
Del colaborador A:
Me parece que lo tratarías como cualquier barandilla de escalera doblada.
Del interrogador original:
Esta página web tiene una buena explicación de lo que quiero hacer. Ver página web relacionada:
Differential Geometry
Del colaborador B:
Tampoco me da los resultados adecuados.
Del colaborador C:
Invierte la ecuación y funciona. Es decir, divida la parte superior entre la inferior en lugar de la inferior entre la superior.
Del colaborador D:
Una ecuación parece un buen camino a seguir. Yo uso un método diferente. Lo modelaré en 3D y luego explotaré el sólido 3D y enumeraré una de las líneas de hélice que definen la longitud exterior y buscaré ese número en la ventana. También tengo que desenrollar formas cónicas de vez en cuando.
Del colaborador E:
¿Qué representa la p en la fórmula? ¿Es el tono en grados o en rads?
Del colaborador C:
Le envié un correo electrónico a Allen Hatcher, del departamento de matemáticas de la Universidad de Cornell, y esta es una parte de la respuesta que recibí de él.
También afirmó que ese gran artículo es de otro profesor de Cornell, David Henderson.
Del colaborador E:
y 2,25 como radio, ¿cuál es la fórmula para obtener la respuesta de 4,5, que es lo que se necesita para hacer el trabajo aquí?
Del colaborador C:
Del colaborador E:
Esa es la respuesta, solo necesitamos una fórmula que tome la altura (24,38) y el radio (2,25) y terminarás con el radio necesario para cortar (4,5) para hacer el pasamanos. Luego, la fórmula se puede invertir para calcular al revés si es necesario.
Del colaborador C:
Del colaborador E:
La longitud del cable es sólo para simplificar las cosas en mi maqueta. Utilicé el doble del radio de la tubería, que es 2,25, por lo que un círculo con un radio de 4,5 tiene una circunferencia de 28,28, la longitud de mi cable. No estoy usando este número en la fórmula.
Podrías usar un cable que sea más largo o más corto. Eso afectaría la altura de la hélice.
Tal vez debería repasar el procedimiento teórico para hacer un pasamanos en forma de hélice, que coincide con la fórmula que estamos tratando de descubrir aquí. Quiere construir una escalera que suba a una torre redonda, digamos que la torre tiene 30' de diámetro. Tiene escaleras de 3', tiene 2 pasamanos a cada lado. Construyamos el interior. En vista en planta, tiene aproximadamente 24' de diámetro (12' de radio). Para hacer una forma de sujeción para el pasamano, comience con una columna de 12' de radio en su taller, lo suficientemente alta como para formar una hélice de una revolución. Dibuja una plomada a lo largo de la columna. En la parte inferior de la línea, mida la subida y el recorrido de las escaleras (pendiente). Desde la parte inferior de la línea, comience a enrollar el cable que coincida con la pendiente que dibujó en la columna. Envuélvete en esa pendiente hasta llegar a la plomada nuevamente. Corta el cable en ese punto y traza el cable en la columna con un marcador. Esta es la línea a la que construyes los formularios de sujeción. Retire el cable y mida la longitud. En teoría, el cable colocado de un extremo a otro en un círculo tendrá el radio necesario para cortar la madera que se enrollará alrededor de la columna en forma de hélice. Entonces, la longitud del cable dividida por pi, luego dividida por 2, te dará el radio.
La respuesta la buscamos al usar una fórmula donde se conoce la altura de la hélice que se dibuja en la columna de sujeción que se construyó, y el radio de esa columna.
En mi maqueta, los números son:
radio de columna - 2,25, altura de hélice - 24,38. La respuesta es:
4,5 (el radio de la madera que debía cortarse para hacer un pasamanos que envuelva mi maqueta de tubería).
Espero que todos los lectores comprendan claramente mi explicación aquí.
Del colaborador C:
Al colaborador E:
No soy un experto en esto y he pasado mucho tiempo contemplando cómo calcular el radio de una línea en espiral. Por eso me alegré mucho de encontrar la fórmula de Cornell.
Creo que el punto aquí es que el alambre en espiral que sube por la columna NO tiene el mismo radio que cuando se coloca de extremo a extremo en un círculo en el piso. El hecho de que esté subiendo por la columna es lo que está alterando el radio. Fácilmente podría estar equivocado aquí, pero creo que el radio en espiral hacia arriba no es el mismo que cuando lo bajamos al suelo.
Puedo ver cómo uno podría pensar que una longitud fija de cable al completar un círculo da solo un radio. Sin embargo, creo que las cosas cambian cuando estás en espiral hacia arriba y los dos extremos del cable están separados por la altura de la columna.
Si ignora esta suposición de que la longitud del cable da la circunferencia final (y el radio posterior), ¿funciona la fórmula de Cornell para usted? Me parece que esta fórmula es lo que buscas.
Del colaborador F:
Del colaborador C:
Al colaborador F:
Yo diría que entre el 90% y el 95% de las veces estoy de acuerdo con usted. De vez en cuando, sin embargo, hay momentos en los que es útil poder hacer los cálculos.
Gracias a esto pudimos hacer una simple clavija curva para cejas. El truco consistía en descubrir cuál debía ser el radio sin hacer una maqueta de pared a escala real. Como no tengo experiencia dibujando 3D completo en AutoCAD, tuve que estimar el radio y esperar que hubiera suficiente flexibilidad en el riel para acomodar la instalación, lo cual resultó bien.
Sin embargo, desearía haberme topado con la fórmula de Cornell en aquel entonces. Habría ahorrado tiempo y esfuerzo.
Del colaborador E:
En mi explicación de la torre de 30' de diámetro (la vista en planta del pasamanos en forma de hélice), el radio es de 12'. Si aplastaras la barandilla contra el suelo, el radio sería mayor.
Exactamente qué, no lo sé sin hacer una maqueta con columna y alambre. No he podido conseguir que la fórmula funcione para mí. Creo que esto es lo que pedía el interlocutor original en la publicación original.
Descubrir la curvatura de una hélice no parece tener ningún significado relevante para mí. Debe ser algo así como la pendiente de la hélice (recorrido y subida de la escalera).
Del colaborador F:
Hice un pasamanos interior en espiral en el que cortamos el pegamento dos veces y usamos abrazaderas de manguera y un taladro con una llave de tuercas para sujetarlo.
Del interrogador original:
Al colaborador C:
Gracias por enviar un correo electrónico a la Universidad de Cornell y obtener la respuesta. Ésta será una fórmula bien utilizada. Ahora veo que el artículo explica sobre la curvatura. Por supuesto, para mí podría haber sido en swahili y no notaría la diferencia. Gracias a todos.
Del colaborador G:
Yo, al igual que el colaborador C, he necesitado esa fórmula en algunas ocasiones. ¿Qué tal hacer una gorra plana que se coloque encima de una escalera mientras desciende? Considero que esto me proporciona el radio que necesito para hacer mis laminaciones y luego levantarme a través de la escalera para hacer dicha tapa.
Del colaborador E:
En pocas palabras, una hélice es un triángulo rectángulo enrollado alrededor de un cilindro, donde el cateto horizontal es igual a la circunferencia de su cilindro.
La hipotenusa te dará la longitud de un pasamanos en hélice y si haces un círculo con la circunferencia que sea igual a la hipotenusa. El radio de ese círculo es lo que necesitas cortar del material plano para hacer tu pasamanos helicoidal.
